Metoda Eliminacji Gaussa – jest to algorytm do rozwiązywania układów równań liniowych , polega na przekształceniu układu tak, aby otrzymać jak najprostszy układ równań liniowych. Postać zapisu układu liniowego: Postaci macierzy: Przykład rozwiązywania metodą gaussa: Teraz wykonujemy tak , aby sprowadzić do macierzy schodkowej po przez eliminacji zmiennych: , gdzie p – jest niewiadomą , tylko dla pierwszej kolumny 1. Kolumna 1*(-2) + 2 = 0 , 1*(-4) + 4 = 0 2. Kolumna 1*(-2) – 1 = -3 , …
Kategoria: Metody Numeryczne
→
Metoda rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb.
Metoda Trapezów – jest bardziej dokładna niż metoda prostokątów , ale ta metoda zależy od funkcji. Powierzchnie całkową dzielimy na trapezy jak na obrazku: Jak określić wzór trapezów na początku wybieramy wzór ogólny całkowania czyli: Można określić że na trapezie są dwie funkcje f(x) = x (liniowa) oraz f(x) = 1 (stała) : czyli dla f(x) = 1: a dla f(x) = x: Ostatnim krokiem jest wstawienie do wzoru ogólnego całkowania: dla f(x) = 1 ten wzór jest podobny …
Metoda Prostokątów – jest to najłatwiejsza metoda całkowania , tą metodą cechuje że dzielimy powierzchnię całkową na prostokąty jak na obrazku Głównym wzorem całkowania jest: – dla jednego prostokąta, gdzie h jest długością prostokąta. Ważnym elementem jest im więcej podzielimy tych prostokątów tym dokładniejsze są wartości powierzchni całkowej, czyli , gdzie odległość miedzy wynosi tak samo. Wzór dla wszystkich prostokątów wyraża się: Napisania kodu C++ wygląda w tym stylu: [crayon-675ec2b4b5474765052100/] …
Całkowanie Numeryczne – jest to metoda numeryczna która przybliża wartość obliczonej całki oznaczonej. Ogólny wzór Całkowania wygląda tak: gdzie – jest wagą dla danej metody całkowania , którą określamy jako odległość między dwoma punktami Rodzaje Metod Całkowania: Metoda Prostokątów Metoda Trapezów Metoda Paraboli Metoda Simpsona Metoda Boole’a Metoda Romberga Głównym elementem całkowania jest różnorodne pole powierzchni danego obiektu np. weźmy daną funkcję : , wartość którą wyliczyliśmy jest to powierzchnia (stylu wyglądu trójkąta prostokątnego) z zakresu od 0 do 5. …
Warto teraz zastosować metodę Najmniejszych kwadratów do tworzenia wykresów np. badań fizycznych. Na początku tworzymy projekt Qt Creatorze i dołączamy bibliotekę qCustomPlot, wchodzimy do Formularze->mainwindow.ui i dodajemy 4 lineEdit (X, Y oraz ich błędów pomiarowych) i następnie 3 przyciski pushButton (Dodaj,Kasuj, Ustaw), aby wiedzieć jakie dane podaliśmy do aplikacji tworzymy 5 labeli (Zawartość Tabeli, X,Y) a dwa ostatnie będą wyświetlać dane X i Y. W pod widgetem customPlot dajemy 5 labele („y = a+bx”,”A:”,”B:”,wartość A,wartość B). Nazywamy obiekty LineEdit(editX,editY,ErrorX,ErrorY) , …
Metoda Najmniejszych Kwadratów – zwana też jako Regresją Liniową(tylko dla y = A + Bx) mamy n punktów dopasujemy to do funkcji np. liniowej y = A + Bx , gdzie A i B są stałe. Metoda Najmniejszych Kwadratów (Regresja Liniowa) dla [math] y = A + Bx [/math] przerzucamy na lewą stronę: czyli: różniczkujemy A i B: tworzymy układ równań: Rozwiązujemy stałą B: Rozwiązujemy stałą A: …
Aproksymacja – oznacza przybliżenie funkcji y = f(x) za pomocą „prostszej” należącej do okresu klasy funkcji y = F(x). Przyczyny stosowania aproksymacji: funkcja aproksymowana y = f(x) wyrażona jest za pomocą skomplikowanej, niepraktycznej zależności analitycznej znany jest tylko skończony zbiór wartości funkcji y = f(x) , np.odczytanych trakcie pomiaru Funkcji aproksymującej(przybliżanie) y = F(x) poszukuje się zwykle w określonej rodzinie funkcji np. wśród wielomianów. Jednymi z najbardziej popularnych są: aproksymacja średniokwadratowa aproksymacja jednostajna aproksymacja liniowa …
Jeżeli nauczyliśmy się Interpolację Wielomianową to warto ją zobaczyć jak naprawdę wygląda na wykresie graficznym w qCustomPlocie , to do dzieła 🙂 . Na początku tworzymy projekt qCreator nazywamy np.Langrange i dodajemy biblioteczkę qCustomPlocie. W pliku mainwindow.ui dodajemy 4 labele , 4 lineEdit oraz 3 pushButtony każdy element jakoś nazywamy , będzie wyglądać w tym stylu: Warto zwrócić uwagę że ma podobny styl jak Podstawy elementów qCustomPlot tylko są dodane elementy dla węzłów interpolacyjnych. Na początek konfigurujemy style wykresów w …
Interpolacja – celem interpolacji jest wyznaczanie wartości funkcji na zadanym przedziale [a,b], gdy znane są jej wartości tylko na brzegach przedziału oraz pewnej liczby punktów z tego przedziału. po wykorzystaniu interpolacji Stosuje się w najróżniejszych dziedzinach np. na podstawie próbki sygnału dźwiękowego , przybliżyć wykres skomplikowanej funkcji. Interpolacja Wielomianowa – zwana też Langrange , czyli wielomian funkcji stopnia n, przyjmującym w n+1 punktach , zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżona funkcja. Wzór Lagrange: gdzie, – są to węzły interpolacyjne, x …
Kiedy się nauczyliśmy tematu Podstawowe elementy qCustomPlocie warto zwrócić uwagę że w programie brakuje jednej rzeczy ustalenie jakie wartości x i y znajduje się w danym punkcie na wykresie. W tym zakresie zastosuję horizontal slider (suwak poziomy) który będzie ustalać dany punkt na wykresie oraz wartości x i y. Na początek uruchamiamy projekt który tworzyliśmy w temacie Podstawowe Elementy qCustomPlocie i wchodzimy w formularze->mainwindow.ui i dodajemy cztery labele (2 na nazwę wartości ,2 na wyświetlenie wartości) a na dole dodajemy horizontal …